Simboli e numeri

Qui si può parlare di tutto, vero?

E allora ne approfitto per parlare di una cosa nella quale la matematica è coinvolta (e stravolta): quei giochini in cui viene presentato un sistema di equazioni e bisogna trovare la soluzione.

Cose tipo questa(*):




Oggi mi sono imbattuto in questa qui, presentata in un gruppo che si occupa di cavalli:



Ho commentato dicendo che c'è un errore di fondo in questi "quiz", e poi ho promesso al "proprietario" del gruppo che avrei spiegato cosa c'è che non va. Quindi, eccomi qui.

Il titolo del post è "simboli e numeri" e quindi di questo parlerò.

Delimitazione del discorso
La matematica fa un uso forsennato dei simboli, che possono essere usati per descrivere i più variopinti oggetti... matematici: spazi, funzioni, operatori, etc.
Per evitare di esagerare considererò solo l'uso dei simboli per rappresentare i numeri.

Un esempio
Prendiamo il numero "3". Ehi, ho già usato un simbolo per indicare un numero!
Osservazione preliminare e fondamentale: l'associazione che esiste tra un simbolo ed un numero ha una natura convenzionale. Noi siamo abituati a questa convenzione, ma non è sempre stato così. La convenzione è variata col passare del tempo, e cambia anche a seconda del luogo del mondo in cui ci si trova. Se vi volete "divertire":
https://www.treccani.it/enciclopedia/numerazione/
Senza troppe sofisticazioni, basta pensare ai numeri romani: per i nostri bis-...-bisnonni il numero 3 era identificato così: III

Il sistema posizionale
Come scrivevano "4" i romani? IV (si può trovare anche IIII).
La cosa interessante è che noi usiamo due simboli diversi, che non hanno nulla a che fare l'un con l'altro, per indicare 3 e 4.
Per i romani era diverso: entrambi i simboli usati provenivano da una appropriata combinazione di simboli "di base". Nell'esempio, I e V. Penso che più o meno tutti si ricordino le regolette usate (I davanti a V si sottrae: 4, dopo V si aggiunge: 6, etc.).
Noi siamo meno furbi dei romani? Assolutamente no, siamo molto più furbi! Il colpo di genio è appunto la numerazione posizionale.
Ci servono 10 cifre: 0,1,...,9. Con queste, scriviamo TUTTI i numeri "naturali" 17, 28346437509456, 3, etc.

Veniamo al punto
Il sistema posizionale (oltre ai simboli usati per scrivere le dieci cifre) è la convenzione cui siamo abituati e che usiamo, spesso inconsapevolmente.
In questa convenzione, se "raddoppio" un simbolo, non ottengo un numero pari al doppio di quello da cui sono partito: 88 non è il doppio di 8.
Spero che su questo siamo tutti d'accordo.
Occupiamoci quindi della seconda figura qui sopra.
Nulla vieta di usare i simboli che più ci piacciono per indicare un numero (potrei anche dire: i simboli per indicare un'incognita).
Quindi, che il valore numerico del simbolo possa essere 10 non è nulla di sconvolgente, rientra nella prassi standard della matematica.
Quello che NON rientra minimamente nella prassi standard è affermare che     indichi 20.
Non possiamo fare riferimento a nessuna convenzione abitualmente accettata in matematica per dire questo.
Così come, se indica il numero 4, NON ne segue minimamente che il simbolo   debba indicare il numero 2.
Non c'è nessuna convenzione che dica questo.

Conclusione
Spesso la difficoltà nel risolvere questi quiz sta in incertezze, ricordi appannati su come si risolvano i sistemi di equazione, o sulle "precedenze" tra le operazioni. Viene invece dato per scontato che, se vale 4, allora vale 2. Il che è semplicemente falso.
Nulla vieta di adottare in un gruppo (che sia di fb o comunque si sia aggregato) questa convenzione, e nulla ho da obiettare, ma va detto esplicitamente.


Post scriptum
I matematici sono strani, per loro anche 11 può rappresentare il numero 3, ma... questo è un altro discorso, che rimanda a una convenzione per ora sottaciuta qui. La base del sistema di numerazione! Se non diciamo niente, la base è dieci, ma nulla ci vieta di usare come base due sole cifre (tutto quello che si legge e scrive su questo forum, su fb, passa in qualche modo attraverso il sistema di numerazione in base 2)


(*) che, a parte ciò di cui discuto qui, contiene già due errori nella figura. Uno di italiano, e l'altro di matematica

Dimenticavo, il post che ha motivato il mio sproloquio è questo:
https://m.facebook.com/groups/1019463214780248/permalink/4032301983496341/
E in un commento avevo promesso a Roberto Spiriti che avrei dato una giustificazione della affermazione fatta

Interessante, hai ragione, anch'io davo per scontato che raddoppiare o dimezzare il simbolo automaticamente implicasse raddoppiare o dimezzare il numero.

E' una ipotesi ben comprensibile, ma è una ipotesi aggiuntiva che occorre rendere esplicita.


Mi sono divertito a vedere i vari risultati nel post di fb che mi ha spinto a scrivere le note. Ecco (ricopio direttamente da lì):

Al momento l'esito delle votazioni è il seguente (a lato di ogni numero sono indicati i voti riportati). NB: i conteggi non sono accurati, non mi sembrava il caso. Semmai Trump farà ricorso
-21: 1
-19: 1
11:  2
12:  1
13:  4
14:  1
16:  1
21: 18
22: 10
40:  1
42:  4
44:  2
46:  1
48:  4
120: 1